数学, 物理

落体の法則と微分方程式

 

だいじ

 

  • 距離
    速度を積分すると距離の関数が出る
  • 速度
    位置時間で微分して速度の導関数を得る
  • 加速度
    速度時間で微分して加速度の導関数を得る
  • 距離
    速度時間で積分して速度が積み重ねた距離(面積)を得る

 

 

 

 

 

落体の法則

  • 球を斜面から転がした時に、1秒後に1とすると、2秒後に4、3秒後に9と距離が長くなる。
  • これは球が加速しているからで、重力(重力加速度)によるもの。

 

りんごを塔から落とした時

りんごを塔から落とすと、4.9x^2メートルの速さで加速しながら落下します。

 

x秒後の落下位置

  • 1秒後・・・4.9 × 1^2 = 4.9m
  • 2秒後・・・4.9 × 2^2 = 19.6m
  • 3秒後・・・ 4.9 × 3^2 = 44.1m

 

「微分」で加速度を表す導関数を求めよ~!

x秒後の速度

y = 4.9x^2

 

速度を時間で微分すると、加速度が出ます。
x秒の時のりんごの加速度が出る導関数が出せます
y´ = 4.9 × 2 × x
y´ = 9.8x

  • 1秒後・・・9.8 × 1 = 9.8m/s
  • 2秒後・・・9.8 × 2 = 19.6m/s
  • 3秒後・・・ 9.8 × 3 = 29.4m/s

 

 

「積分」で落下した距離を求めよ~!

速度を積分すると、距離が出ます

y´ = 9.8x

∫y’dx
= 1/2 ×9.8x^2
y = 4.9x^2

 

 

 

微分方程式

 

x秒後の速度

y´ = 9.8

微分方程式でx秒後の速度が出せます。
∫ y´dx = ∫9.8 dx
y + C1 = 9.8x + C2

y = 9.8x + C2 -C1
y = 9.8x + C ←C2 - C1をCの積分定数で置き換え

りんごを手から話した時、初速は0メートル/秒
だからC = 0

y = 9.8x

 

3秒後の速さ、
y = 9.8x
y = 9.8 × 3
= 29.4メートル/秒

 

 

 

 

 

 

 

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